Прямоугольный треугольник

Содержание

im244-283px-Rtriangle.svg.pngПрямоугольный треугольник

Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один уголпрямой (то есть 90 градусов).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

Связанные определения

  • Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
  • Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.

Типы прямоугольных треугольников

  • Если катеты равны, то треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником.
  • Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

  • По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак немедленно следует из первого признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равны по два катета и прямой угол.
  • По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
    Этот признак немедленно следует из второго признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равен один катет, прилежащий к нему угол и прямой угол.
  • По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак следует из второго признака равенства треугольников, так как вторые острые углы будут равны по теореме о сумме углов треугольника и у треугольников будут равны гипотенузы и два прилежащих к ней угла.
  • По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак докажем так. Наложим два треугольника друг на друга так, чтобы получить равнобедренный треугольник, то есть совместим их равными катетами так, чтобы углы, лежащие при этих катетах, лежали в разных плоскостях. Так как гипотенузы равны, получившийся треугольник — равнобедренный, тогда углы при основании равны. Тогда два прямоугольных треугольника будут равны по гипотенузе и острому углу.
  • По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    Этот признак доказывается так: если один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника, то второй острый угол будет известен по теореме о сумме углов треугольника. Так как второй острый угол прилегает к катету, то далее равенство треугольников будет доказываться по предыдущей теореме.

Свойства

Далее предполагаем, что <math><semantics><mrow><mstyle><mi>a</mi></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle a}</annotation></semantics></math>Teorema.png

Высота прямоугольного треугольника.</span></p>

Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:[1]

  • Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть
<math><semantics><mrow><mstyle><mstyle><msup><mi>f</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mo>,</mo></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle displaystyle f^{2}=de,}</annotation></semantics></math>im324-640px-Thm_mediane.svg.pngМедиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Другие свойства

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

<math><semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>c</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle r={frac {a+b-c}{2}}={frac {ab}{a+b+c}}.}</annotation></semantics></math>14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.pngМногоугольникиПо числу сторон</th></td></tr>modif.png Эта страница в последний раз была отредактирована 28 сентября 2020 в 16:58.

Гипотенуза — сторона в прямоугольном треугольнике, находящаяся напротив прямого угла. Две других стороны — катеты. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты). Очень часто для вычисления гипотенузы используется именно эта теорема.

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).

Например:

Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:

c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.

Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:

Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:

(c — гипотенуза, a и b — катеты)

Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.

Применяем формулу b = √c² — a² ⇔

b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).

Формула:

Например:

Известна одна сторона треугольника 𝐴𝐶 = √2 и ∠β = 45º.

∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).

Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.

Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.

Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:

BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º

В таблице вы найдёте значения для синуса:

sin 45º √2/2
sin 60º √3/2
sin 90º 1

В условии задачи нам дано: 𝐴𝐶 = √2, значит:

BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º

Подставляем значения синуса из таблицы:

BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔

BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)

Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:

AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2

Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).

Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.

Например:

Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).

Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.

Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.

BC = 1/ (√2/2) = √2

Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).

Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.

Например:

Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.

Формула b = √2a². Подставляем:

b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899

Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):

c² = a² + b²

c² = 7² + 7²

c² = 49 + 49

c² = 98

c = √98

c ≈ 9.899

Ответ: гипотенуза равна 9.899.

Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.

Определение и формулы прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕТреугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.

Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна :
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:

BC, AB>BC]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.</li> Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. </li>Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. </li>Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:</li></ul>

Признаки равенства прямоугольных треугольников

  • По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  • По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  • По стороне и острому углу: Если сторона и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и вычисляется по формуле

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В прямоугольном треугольнике катет равен см, а . Найти гипотенузу .
Решение В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна , значит

Также известно, что катет (рис. 1), лежащий против угла равен половине гипотенузы, т.е.

см

Ответ см.

ПРИМЕР 2

Задание В равнобедренном треугольнике угол – прямой, см. Найти площадь .
Решение Запишем для прямоугольного треугольника теорему Пифагора:

Так как этот треугольник равнобедренный, то . Тогда

откуда .

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.

Ответ см.

Определение прямоугольного равнобедренного треугольника

Прямоугольный равнобедренный треугольник – это прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Свойств углов равнобедренного прямоугольного треугольника

Углы при основании прямоугольного равнобедренного треугольника равны по 45 градусов:

 

Доказательство

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

Следовательно:

Что и требовалось доказать.

Свойств углов равнобедренного прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора для прямоугольного равнобедренного треугольника

В равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета:

Доказательство

 

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны:

То получим:

Перепишем в других обозначениях:

Что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора для прямоугольного равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата катета:

Доказательство

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Так как катеты равны AB = BC, то получим:

Перепишем в других обозначениях:

Что и требовалось доказать.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Свойство высот равнобедренного прямоугольного треугольника

Две высоты равнобедренного прямоугольного треугольника совпадают с его катетами:

АВ и ВС – высоты.

Третья высота, проведенная из прямого угла, является медианой, биссектрисой, а также радиусом описанной окружности:

ВК – высота, медиана и биссектриса.

Данное свойство следует из свойств равнобедренного треугольника.

Высоты равнобедренного прямоугольного треугольника

Свойства описанной вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника окружности

Центр описанной окружности вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы:

К – центр описанной вокруг прямоугольного равнобедренного треугольника окружности;

Радиусом описанной окружности является высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу:

Описанная вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника окружность

Свойства вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник окружности

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе равна радиусу вписанной окружности, умноженному на серебряное сечение (серебряное сечение равно единице плюс корень квадратный из двух):

Вписанная в равнобедренный прямоугольный треугольник окружность

Ссылки по теме

Типы прямоугольных треугольников

Равнобедренные треугольники

Определение прямоугольного треугольника. Элементы прямоугольного треугольника (как называются его стороны)

Площадь прямоугольного треугольника

Признаки прямоугольного треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Равенство прямоугольных треугольников

Используемые источники:

  • https://wiki2.org/ru/прямоугольный_треугольник
  • https://www.uznaychtotakoe.ru/gipotenuza/
  • http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-geometrii/treugolnik/pryamougolnyj-treugolnik/
  • https://mathvox.ru/geometria/treugolniki/treugolniki-glava-5/pryamougolnii-ravnobedrennii-treugolnik/

</span>

</dl>