Сложение дробей.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или (frac{1}{5}) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или (frac{2}{5}) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Без-имени-1.jpgРешение:

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби (frac{1}{5} + frac{2}{5}).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

(frac{1}{5} + frac{2}{5} = frac{1 + 2}{5} = frac{3}{5})

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

(bf frac{a}{c} + frac{b}{c} = frac{a + b}{c})

Ответ: туристы прошли (frac{3}{5}) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби (frac{3}{4}) и (frac{2}{7}).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как найти общий знаменатель можно посмотреть здесь, нажав на ссылку>>

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь (frac{3}{4}) нужно умножить на 7. Вторую дробь (frac{2}{7}) нужно умножить на 4.

(frac{3}{4} + frac{2}{7} = frac{3 times color{red} {7} + 2 times color{red} {4}}{4 times color{red} {7}} = frac{21 + 8}{28} = frac{29}{28} = 1frac{1}{28})

В буквенном виде получаем такую формулу:

(bf frac{a}{b} + frac{c}{d} = frac{a times d + c times b}{b times d})

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа (3frac{6}{11}) и (1frac{3}{11}).

(3frac{6}{11} + 1frac{3}{11} = (color{red} {3} + color{blue} {frac{6}{11}}) + (color{red} {1} + color{blue} {frac{3}{11}}) = (color{red} {3} + color{red} {1}) + (color{blue} {frac{6}{11}} + color{blue} {frac{3}{11}}) = color{red}{4} + (color{blue} {frac{6 + 3}{11}}) = color{red}{4} + color{blue} {frac{9}{11}} = color{red}{4} color{blue} {frac{9}{11}})

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел (7frac{1}{8}) и (2frac{1}{6}).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь (7frac{1}{8}) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь (2frac{1}{6}) на 4.

(7frac{1}{8} + 2frac{1}{6} = 7frac{1 times color{red} {3}}{8 times color{red} {3}} = 2frac{1 times color{red} {4}}{6 times color{red} {4}} =7frac{3}{24} + 2frac{4}{24} = 9frac{7}{24})

Вопросы по теме:Как складывать дроби? Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями? Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби? Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1: Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

Решение:

(frac{2}{7} + frac{3}{7} = frac{2 + 3}{7} = frac{5}{7})

Дробь (frac{5}{7}) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей (frac{2}{7}) и (frac{3}{7}).

(frac{2}{5} + frac{8}{9} = frac{2 times 9 + 8 times 5}{5 times 9} =frac{18 + 40}{45} = frac{58}{45})

Дробь (frac{58}{45}) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей (frac{2}{5}) и (frac{8}{9}).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2: Сложите дроби: а) (frac{3}{11} + frac{5}{11})  б) (frac{1}{3} + frac{2}{9}).

а) (frac{3}{11} + frac{5}{11} = frac{3 + 5}{11} = frac{8}{11})

б) (frac{1}{3} + frac{2}{9} = frac{1 times color{red} {3}}{3 times color{red} {3}} + frac{2}{9} = frac{3}{9} + frac{2}{9} = frac{5}{9})

Пример №3: Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) (1frac{9}{47})   б) (5frac{1}{3})

а) (1frac{9}{47} = 1 + frac{9}{47})

б) (5frac{1}{3} = 5 + frac{1}{3})

Пример №4: Вычислите сумму: а) (8frac{5}{7} + 2frac{1}{7})  б) (2frac{9}{13} + frac{2}{13})  в) (7frac{2}{5} + 3frac{4}{15})

Решение:

а) (8frac{5}{7} + 2frac{1}{7} = (8 + 2) + (frac{5}{7} + frac{1}{7}) = 10 + frac{6}{7} = 10frac{6}{7})

б) (2frac{9}{13} + frac{2}{13} = 2 + (frac{9}{13} + frac{2}{13}) = 2frac{11}{13} )

в) (7frac{2}{5} + 3frac{4}{15} = 7frac{2 times 3}{5 times 3} + 3frac{4}{15} = 7frac{6}{15} + 3frac{4}{15} = (7 + 3)+(frac{6}{15} + frac{4}{15}) = 10 + frac{10}{15} = 10frac{10}{15} = 10frac{2}{3})

Задача №1: За обедам съели (frac{8}{11}) от торта, а вечером за ужином съели (frac{3}{11}). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

(frac{8}{11} + frac{3}{11} = frac{11}{11} = 1)

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо:

1) Найтинаименьший общий знаменатель(НОЗ) данных дробей.

2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого новый знаменатель нужно разделить на старый.

3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями.

4) Проверить, является ли полученная в результате дробь правильной и несократимой.

В следующих примерах надо сложить или вычесть дроби с разными знаменателями:

quicklatex.com-bf9565268096974adf7bcb2c216f4ce1_l3.png

quicklatex.com-f971de6ef23a20e9013764cb1769062f_l3.png

Решение:

quicklatex.com-d35b5e416b051daa45cf4fba7d4b28ed_l3.png

1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель данных дробей. Выбираем большее из чисел и проверяем, делится ли оно на меньшее. 25 на 20 не делится. Умножаем 25 на 2. 50 на 20 не делится. Умножаем 25 на 3. 75 на 20 не делится. Умножаем 25 на 4. 100 на 20 делится. Значит, наименьший общий знаменатель равен 100.

2) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 100:25=4, 100:20=5. Соответственно, к первой дроби дополнительный множитель 4, ко второй — 5.

3) Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем дроби по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

4) Полученная дробь — правильная и несократимая. Значит, это — ответ.

quicklatex.com-b61c2d44c5e27f5fdc4c623cb0cd8eb0_l3.png

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель. 16 на 12 не делится. 16∙2=32 на 12 не делится. 16∙3=48 на 12 делится. Значит, 48 — НОЗ.

2) 48:16=3, 48:12=4. Это — дополнительные множители к каждой дроби.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и складываем новые дроби.

4)Полученная в результате дробь — правильная и несократимая.

1) 30 на 20 не делится. 30∙2=60 на 20 делится. Значит, 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей.

2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель поделить на старый: 60:20=3, 60:30=2.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем новые дроби.

4) полученную дробьнадо сократитьна 5.

1) 8 на 6 не делится. 8∙2=16 на 6 не делится. 8∙3=24 делится и на 4, и на 6. Значит, 24 — это и есть НОЗ.

2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Значит, 3, 6 и 4 — дополнительные множители к первой, второй и третьей дроби.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой долби на дополнительный множитель. Складываем и вычитаем. Полученная дробь — неправильная, поэтому необходимо выделить целую часть.

Используемые источники:

  • https://tutomath.ru/5-klass/slozhenie-drobej.html
  • http://www.for6cl.uznateshe.ru/kak-skladyvat-drobi-s-raznymi-znamenatelyami/