Онлайн калькулятор. Площадь цилиндра.

Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь поверхности цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.

У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.

Основаниями цилиндра (их два: верхние и нижнее) являются окружности, их легко определить.

Известно, что площадь окружности равна πr2. Поэтому, формула площади двух окружностей (двух оснований цилиндра) будет иметь вид πr2 + πr2 = 2πr2.

Боковая поверхность цилиндра

bokovaya-poverhnost-cilindra.jpg Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).

После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Верхнее основание исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.

Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Формула площади боковой поверхности цилиндраSбок. = 2πrhr – радиус цилиндра, h – высота цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра

Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра равна площадь верхнего основания цилиндра + площадь нижнего основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Формула площади полной поверхности цилиндраS = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h)r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул, попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле: Sбок. = 2πrh

Sбок. = 2 * 3,14 * 2 * 3

Sбок. = 6,28 * 6

Sбок. = 37,68

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 62 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

S = 376,8

Площадь поверхности цилиндра равна 376,8.

3. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 24π, а диаметр основания — 3. Найдите высоту цилиндра.

Из формулы расчета площади боковой поверхности цилиндра Sбок. = 2πrh следует, что высота равна:

h = Sбок./2πr

Значение радиуса получаем из формулы: d = 2r

h = 24π / (2π * 0,5d)

h = 24π / (2π * 0,5 * 3)

h = 12 / 1,5

h = 8

Высота цилиндра равна 8.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Сколько поверхностей у цилиндра?</h3>

    • <label>1</label>
    • <label>2</label>
    • <label>3</label>
    • <label>4</label>

(новая вкладка)

Содержание

Тест: 3 вопроса 1. Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания – 5 см. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно его оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси до плоскости этого сечения. 2638 2. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.61216 3. Радиус круга, лежащего в основании прямого кругового цилиндра, имеет длину 12 (см.). Высота цилиндра – 14 (см.). Найдите полную площадь его поверхности. 75,361959,36979,68

Определение цилиндра

Цилиндр — геометрическое тело, которое можно получить при вращении прямоугольника вокруг какой-либо его стороны.

На самом деле, это определение только самого простого, кругового цилиндра. Более общее определение цилиндрического тела следующее:

Цилиндром называют тело, образованное пересечением параллельных друг другу прямых и двух плоских поверхностей.

Такие прямые называются образующими данного цилиндра. Прямая, перпендикулярная обоим основаниям, является высотой цилиндра. Плоские поверхности называют основаниями данного цилиндра. Часто, они параллельны друг другу, но не всегда.

Виды цилиндра зависят от того, под каким углом пересекаются образующие и основания нашего тела.

Если угол равен 90 градусам, то получим, так называемый, прямой цилиндр. У него есть ось симметрии – это перпендикуляр, соединяющий центры его оснований.

Если угол другой, то цилиндр называется наклонным.

Если форма основания – гипербола, то цилиндр гиперболический, если парабола — параболический, если эллипс — эллиптический, если круг — круговой.

Если основания цилиндра не параллельны, то он называется косым.

Полная площадь поверхности цилиндра является суммой его боковой площади поверхности и площади оснований.

<math><semantics><mrow><mi>S</mi><mo>=</mo><msub><mi>S</mi><mtext>осн</mtext></msub><mo>+</mo><msub><mi>S</mi><mtext>бок</mtext></msub></mrow><annotation>S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}</annotation></semantics></math>S=Sосн+Sбок

<math><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mtext>осн</mtext></msub></mrow><annotation>S_{text{осн}}</annotation></semantics></math>Sосн — площадь оснований;<math><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mtext>бок</mtext></msub></mrow><annotation>S_{text{бок}}</annotation></semantics></math>Sбок — площадь боковой поверхности.

При вычислении площади поверхности цилиндра важным фактором является вид цилиндра. От него зависит и конкретная формула для площади.

<math><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mtext>осн</mtext></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation>S_{text{осн}}=2cdotpicdot r^2</annotation></semantics></math>Sосн=2πr2

<math><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mtext>бок</mtext></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><mi>r</mi><mo>⋅</mo><mi>h</mi></mrow><annotation>S_{text{бок}}=2cdotpicdot rcdot h</annotation></semantics></math>Sбок=2πrh

<math><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation>r</annotation></semantics></math>r — радиус круга (основания кругового цилиндра);<math><semantics><mrow><mi>h</mi></mrow><annotation>h</annotation></semantics></math>h — высота этого цилиндра.

Сокращенно, это формулу можно записать так:

<math><semantics><mrow><mi>S</mi><mo>=</mo><msub><mi>S</mi><mtext>осн</mtext></msub><mo>+</mo><msub><mi>S</mi><mtext>бок</mtext></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><mi>r</mi><mo>⋅</mo><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><mi>r</mi><mo>⋅</mo><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>h</mi><mo>)</mo></mrow><annotation>S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=2cdotpicdot r^2+2cdotpicdot rcdot h=2cdotpicdot rcdot(r+h)</annotation></semantics></math>S=Sосн+Sбок=2πr2+2πrh=2πr(r+h)

Пример

Радиус круга, лежащего в основании прямого кругового цилиндра, имеет длину 6 (см.). Высота цилиндра – 20 (см.). Найдите полную площадь его поверхности.

Решение:

<math><semantics><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mrow><annotation>r=6</annotation></semantics></math>r=6<math><semantics><mrow><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>20</mn></mrow><annotation>h=20</annotation></semantics></math>h=2

По формуле:

<math><semantics><mrow><mi>S</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><mi>r</mi><mo>⋅</mo><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>h</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><mn>6</mn><mo>⋅</mo><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>+</mo><mn>20</mn><mo>)</mo><mo>≈</mo><mn>979</mn><mo>,</mo><mn>68</mn></mrow><annotation>S=2cdotpicdot rcdot(r+h)=2cdotpicdot 6cdot(6+20)approx979,68</annotation></semantics></math>S=2πr(r+h)=2π6(6+2)979,68 (см. кв.)

Ответ: 979,68 см. кв.

<math><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mtext>осн</mtext></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation>S_{text{осн}}=2cdotpicdot r^2</annotation></semantics></math>Sосн=2πr2

<math><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mtext>бок</mtext></msub><mo>=</mo><mi>p</mi><mo>⋅</mo><mi>l</mi></mrow><annotation>S_{text{бок}}=pcdot l</annotation></semantics></math>Sбок=pl

<math><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation>r</annotation></semantics></math>r — радиус круга (основания кругового цилиндра);<math><semantics><mrow><mi>p</mi></mrow><annotation>p</annotation></semantics></math>p — периметр сечения наклонного цилиндра перпендикулярно образующей;<math><semantics><mrow><mi>l</mi></mrow><annotation>l</annotation></semantics></math>l — длина образующей этого цилиндра.

Пример

Найти площадь поверхности наклонного цилиндра, если периметр <math><semantics><mrow><mi>p</mi></mrow><annotation>p</annotation></semantics></math>p сечения плоскости, составляющей прямой угол с образующей, равен 30 (см.), а сама образующая равна 7 (см.) Радиус окружности, лежащей в основе цилиндра в два раза меньше его образующей.

Решение:

<math><semantics><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><annotation>r=frac{l}{2}</annotation></semantics></math>r=2l<math><semantics><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>30</mn></mrow><annotation>p=30</annotation></semantics></math>p=3<math><semantics><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>7</mn></mrow><annotation>l=7</annotation></semantics></math>l=7

Найдем сначала радиус основания:

<math><semantics><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>3.5</mn></mrow><annotation>r=frac{l}{2}=frac{7}{2}=3.5</annotation></semantics></math>r=2l=27=3.5

Тогда полная площадь:

<math><semantics><mrow><mi>S</mi><mo>=</mo><msub><mi>S</mi><mtext>осн</mtext></msub><mo>+</mo><msub><mi>S</mi><mtext>бок</mtext></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>p</mi><mo>⋅</mo><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>π</mi><mo>⋅</mo><mn>3.</mn><msup><mn>5</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>30</mn><mo>⋅</mo><mn>7</mn><mo>≈</mo><mn>76</mn><mo>,</mo><mn>93</mn><mo>+</mo><mn>210</mn><mo>=</mo><mn>286</mn><mo>,</mo><mn>93</mn></mrow><annotation>S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=2cdotpicdot r^2+pcdot l=2cdotpicdot 3.5^2+30cdot 7approx76,93+210=286,93</annotation></semantics></math>S=Sосн+Sбок=2πr2+pl=2π3.52+3776,93+21=286,93 (см. кв.)

Ответ: 286,93 см. кв.

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь боковой поверхности цилиндра, а также площадь полной поверхности цилиндра.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади поверхности цилиндра, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.

Найти площадь поверхности цилиндра

cylinder.pngВведите значение радиуса цилиндра и его высоты

R =
h =

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади цилиндра

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

N.B. В онлайн калькуляте можно использовать величины в однаквых единицах измерения!

Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади цилиндра

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “вправо” и “влево” на клавиатуре.

Теория. Площадь поверхности цилиндра

cylinder.pngЦилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями (основаниями), пересекающими её. Цилиндр называется круговым, если его основание – круг. Расстояние между основаниями – высота цилиндра.

Формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра

S = 2 π R h

Формулы для вычисления площади полной поверхности цилиндра

S = 2 π R h + 2 π R 2 = 2 π R(R + h) где S – площадь, R – радиус цилиндра, h – высота цилиндра, π = 3.141592.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Формулы площади поверхности геометрических фигурКонвертер единиц расстояния и длиныКонвертер единиц площадиПлощадь кубаПлощадь прямоугольного параллелепипедаПлощадь цилиндраПлощадь конусаПлощадь шараПоказать все онлайн калькуляторыОбъем кубаОбъем призмыОбъем прямоугольного параллелепипедаОбъем параллелепипедаОбъем пирамидыОбъем правильного тетраеэдраОбъем шараОбъем цилиндраОбъем конусаПоказать все онлайн калькуляторыИспользуемые источники:

  • https://obrazovaka.ru/geometriya/ploshhad-poverhnosti-cilindra-formula
  • https://studwork.org/spravochnik/matematika/ploshchad/ploshchad-poverhnosti-cilindra
  • https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/cylinder/